Question

定义在[-1，1]上的偶函数f（x），已知当x∈[0，1]时的解析式为f（x）=-2^2x+a2^x （a∈R）．
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值h（a）．

Answer

（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，由已知表达式可求得f（-x），根据偶函数的性质可得f（x）=f（-x），从而得到答案；
（2）令t=2x，则t∈[1，2]，则原函数变为关于t的二次函数，按照对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论即可求得最大值h（a）．
【解析】
（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，f（-x）=-2-2x+a•2-x，
又f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=-2-2x+a•2-x，
故f（x）=-2-2x+a•2-x，x∈[-1，0]．
（2）f（x）=-22x+a•2x，x∈[0，1]．令t=2x，则t∈[1，2]，
所以g（t）=at-t2=-+，
①当＜1，即a＜2时，h（a）=g（1）=a-1；
②当1≤≤2，即2≤a≤4时，h（a）=g（）=；
③当＞2，即a＞4时，h（a）=g（2）=2a-4．
综上所述，h（a）=．