Question

已知函数f（x）=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，求b的值；
（2）证明：函数f（x）=x+（常数a＞0）在（0，]上是减函数；
（3）设常数c∈（1，9），求函数f（x）=x+在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

Answer

（1）根据题设条件知=4，由此可知求出b值；
（2）由已知中函数的解析式，求出函数的导函数，判断导数在（0，]上的符号，进而可由导数符号与函数单调性的关系得到答案．
（3）由常数c∈（1，9），可得的范围，根据已知可得当x=时，函数取最小值，比较f（1）与f（3）的大小，可得函数的最大值．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x+在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数
且函数y=x+（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）是增函数，
故=4
解得b=4
证明：（2）∵函数f（x）=x+（常数a＞0）
∴f（x）=1-，
当x∈（0，]时，x2≤a
即≥1，
此时f（x）=1-≤0恒成立
故函数f（x）=x+（常数a＞0）在（0，]上是减函数
（3）当c∈（1，9）时，∈（1，3）
故当x=时，函数取最小值2
而f（1）-f（3）=
故当1＜c≤3时，函数的最大值是f（3）=3+
当3＜c＜9时，函数的最大值是f（1）=1+c