Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（2）解不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0．

Answer

（1）赋值法：根据所给恒等式，令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）与f（x）的关系，据奇偶函数的定义即可判断；
（2）先用单调性的定义判断函数的单调性，由奇偶性、单调性的性质可把把不等式中的符号“f”去掉，从而变为具体不等式；
【解析】
（1）函数f（x）为R上的奇函数，下面证明：
令y=x=0，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
令y=-x，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（x）+f（-x），即0=f（x）+f（-x），
所以f（-x）=-f（x），
又f（x）定义域为R，关于原点对称，
所以f（x）为奇函数；
（2）任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1），
因为x＞0时，f（x）＞0，且x2-x1＞0，
所以f（x2-x1）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1），
所以f（x）为R上的增函数，
f（a-4）+f（2a+1）＜0⇒f（2a+1）＜-f（a-4）=f（4-a），
由f（x）为增函数得，2a+1＜4-a，解得a＜1．
所以不等式的解集为{a|a＜1}．