Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，点D是AB的中点，
（1）求证：平面ACC₁⊥平面BCC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer

（1）利用面面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明．
证明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
∴AC⊥CC1．
且BC∩CC1=C，
∴AC⊥平面BCC1．
而AC⊂平面ACC1，
∴平面ACC1⊥平面BCC1．
（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1，
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．