Question

设f（x）=ax³+bx+c（a≠0）是奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为-12，
（1）求a，b，c的值；        
（2）求函数f（x）在[-1，3]上的最值．

Answer

（1）由f（x）为奇函数，推导出c=0．由f′（x）=3ax2+b的最小值为-12，推导出b=-12．由直线x-6y-7=0的斜率为，推导出a=2．
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，从而得到f′（x）=6x2-12，由此能求出f（x）在[-1，3]上的最值．
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，∴c=0．
∵f′（x）=3ax2+b的最小值为-12，∴b=-12．
又直线x-6y-7=0的斜率为，
因此f′（1）=3a+b=-6，∴a=2，b=-12，c=0．
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，
∴f′（x）=6x2-12=6（x+）（x-），
列表如下：

x （-∞，-） - （-，） （，+∞）
f′（x） + - +
f（x） Z 极大 ↓ 极小 ↑

所以函数f（x）的单调增区间是（-∞，-）和（，+∞）．
∵f（-1）=10，f（）=-8，f（3）=18，
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（）=-8．