Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（-x）=f（x），f（-2）=-3，数列{a_n}满足a₁=-1，且=2×+1，（其中S_n为{a_n}的前n项和）．则f（a₅）+f（a₆）=（ ）
A．-3
B．-2
C．3
D．2

Answer

先由函数f（x）是奇函数，f（-x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=-1，且Sn=2an+n，推知a5=-31，a6=-63计算即可．
【解析】
∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵f（-x）=f（x），
∴f（-x）=-f（-x）
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{an}满足a1=-1，且=2×+1，
∴a1=-1，且Sn=2an+n，
∴a5=-31，a6=-63
∴f（a5）+f（a6）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故选C．