(1)取的AB中点H,易证∠PDH为PD与BC所成角,解三角形可得;
(2)由已知结合线面垂直的判定可得:
(3)坐标法求得平面的法向量,由向量的夹角可得二面角的大小.
(Ⅰ)取的AB中点H,连接DH,易证BH∥CD,且BD=CD …(1分)
所以四边形BHDC为平行四边形,所以BC∥DH
所以∠PDH为PD与BC所成角…(2分)
因为四边形,ABCD为直角梯形,且∠ABC=45°,所以⊥DA⊥AB
又因为AB=2DC=2,所以AD=1,因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形,
所以PD=DH=PH=,故∠PDH=60°…(4分)
(Ⅰ)连接CH,则四边形ADCH为矩形,∴AH=DC 又AB=2,∴BH=1
在Rt△BHC中,∠ABC=45°,∴CH=BH=1,CB=∴AD=CH=1,AC=
∴AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC…(6分) 又PA平面ABCD∴PA⊥BC …(7分)
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC …(8分)
(Ⅲ)如图,分别以AD、AB、AP为x轴,y轴,z轴
建立空间直角坐标系,则由题设可知:
A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),
∴=(0,0,1),=(1,1,-1)…(9分)
设m=(a,b,c)为平面PAC的一个法向量,则,即
设a=1,则b=-1,∴m=(1,-1,0)…(10分)
同理设n=(x,y,z) 为平面PCD的一个法向量,求得n=(1,1,1)…(11分)
∴
所以二面角A-PC-D为60°…(12分)