Question

（1）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6．求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围．

Answer

（1）利用椭圆C：的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6，根据椭圆的定义，可得方程，从而可求椭圆C的方程；
（2）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1，利用直线l与双曲线C右支交于不同两点，可得不等式，即可求实数k的取值范围．
【解析】
（1）∵椭圆C：的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6，
∴2a=6，=，解得a=3，c=，
∴b2=a2-c2=3
故椭圆C的方程为；
（2）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得（k2-2）x2+2kx+2=0．
依题意，直线l与双曲线C右支交于不同两点，则
k2-2≠0，△=（2k）2-8（k2-2）＞0，＞0，＞0
解得k的取值范围为-2＜k＜．