Question

已知椭圆（a＞b＞0），离心率为的椭圆经过点（，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l₁，l₂分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e==，经过点（，1）即+=1可求得a2，b2；
（2）设出直线AB，CD的方程与椭圆方程联立，求得相应弦长，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可Q求得λ，从而问题得到解决．
【解析】
（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，经过点（，1），
∴e==⇔==①，+=1②，
由①②解得a2=8，b2=4，
∴该椭圆的标准方程为：+=1；
（2）∵椭圆+=1的左焦点F1（-2，0）；
设过其左焦点F1的直线AB的方程为：y=k1（x+2），k1≠0
由方程组 得（2+1）x2+8x+8-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=
由弦长公式得|AB|=•=，
同理设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=•=，，
由（1）k1•k2=-1得k2=-，代入得|CD|=，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==+==，则存在λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．