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已知函数f(x)=x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网x2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)+3x,其中a∈R且a>1.
(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;
(II)当a=3时,求函数h(x)的单调区间及极值;
(III)若对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,函数h(x)满足manfen5.com 满分网,求实数a的取值范围.
(I)由f(x)=x2-3x+(a-1)lnx,知=x+-3,x>0,由此能求出导函数f′(x)的最小值. (II)当a=3时,h(x)=,=,由此列表讨论能求出函数h(x)的单调区间及极值. (III)由题意,h(x)=,(a>1).设x1<x2,由>-1,得h(x1)+x1<h(x2)+x2,构造函数F(x)h(x)+x=,由此能求出实数a的取值范围. 【解析】 (I)∵f(x)=x2-3x+(a-1)lnx, ∴=x+-3,x>0, ∵a>1,∴a-1>0, 又∵x>0,∴x+-3≥2-3, 当且仅当x=时,取等号,其最小值为. (II)当a=3时,h(x)=, =, x,h′(x),h(x)的变化如下表: x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) h′(x) + - + h(x) ↑ - ↓ 2ln2-4 ↑ 所以,函数h(x)的单调增区间是(0,1),(2,+∞);单调减区间是(1,2).…(7分) 函数h(x)在x=1处取得极大值-,在x=2处取得极小值2ln2-4.…(8分) (III)由题意,h(x)=,(a>1). 不妨设x1<x2,则由>-1, 得h(x1)+x1<h(x2)+x2, 令F(x)h(x)+x=, 则函数F(x)在(0,+∞)单调递增, =在(0,+∞)恒成立, ∵G(0)=a-1>0,, ∴只需△=(a-1)2-4(a-1)≤0, 解得1<a<5, ∴实数a的取值范围是(1,5).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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