Question

设数列{a_n}的前n项和为s_n，点（n，）（n∈N^*）均在函数y=x+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{b_n}为正项等比数列，且b₁=1，b₁b₂b₃=8，求{b_n}的通项公式和前n项和G_n；
（3）求{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+1的图象上，知，，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由=8，知b2=2，由b1=1，知q=2，从而能求出{bn}的通项公式和前n项和Gn．
（3）由an=2n，，知an•bn=2n•2n-1=n•2n，由此能求出{an•bn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，
点（n，）（n∈N*）均在函数y=x+1的图象上，
∴，，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n，
当n=1时，a1=S1=2，
∴an=2n．
（2）∵=8，
∴b2=2，
∵b1=1，∴q==2，
∴=2n-1，
∴Gn===2n-1．
（3）∵an=2n，，
∴an•bn=2n•2n-1=n•2n，
Tn=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n，①
∴2Tn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）×2n+n×2n+1，②
①-②，得-Tn=21+22+23+24+…+2n-1+2n-n×2n+1
=-n×2n+1，
=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．