设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的单调性．

设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x²-2（1-a）x的单调性．

求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．【解析】定义域{x|x＞0} f′（x）== 设g（x）=2a（1-a）x2-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞） ①若a=1，则g（x）=1＞0 ∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数． ②若a＞1则2a（1-a）＜0，g（x）的图象开口向下，此时△=[-2（1-a）]2-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）＞0 方程2a（1-a）x2-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根为x1=，x2= 且x1＜0＜x2 ∴在（0，）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，+∞）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数； ③若0＜a＜1则2a（1-a）＞0，g（x）的图象开口向上，此时△=[-2（1-a）]2-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）是增函数；当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1-a）x2-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根满足＞＞0 故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数．

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考点分析：

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已知函数

．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设a，b∈[-2，2]，求证：|f（a）-f（b）|＜5．

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直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求平面ADF与平面AA₁B₁B所成锐二面角的余弦值．

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某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（II）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．