Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的导函数，即f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N⁺，则f₂₀₁₃（x）=（ ）
A．sinx+cos
B．sinx-cos
C．-sinx+cos
D．-sinx-cos

Answer

利用导数的运算法则，通过计算即可得出其周期性fn+4（x）=fn（x）进而即可得出答案．
【解析】
∵f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，
∴f2（x）=f1′（x）=cosx-sinx，f3（x）=f2′（x）=-sinx-cosx，f4（x）=-cosx+sinx，f5（x）=sinx+cosx…，
∴fn+4（x）=fn（x），
∴f2013（x）=f503×4+1（x）=f1（x）=sinx+cosx．
故选A．