Question

已知，直线l：y=kx+2k与曲线C：有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为p，若，则实数k的取值范围为（ ）
A．
B．[0，1]
C．
D．

Answer

集合M为圆心为原点，2为半径且在x轴上方的半圆，将直线l的方程变形后，发现直线恒过定点（-2，0），根据题意画出相应的图形，结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（-2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．
【解析】
画出图形，如图所示：

直线y=kx+2k变形得：y-0=k（x+2），
∴直线恒过定点（-2，0），
又集合M为以原点为圆心，2为半径且在x轴上边的半圆，
当直线l过（-2，0），（0，2）时，
它们围成的平面区域为M，向区域P上随机投一点A，
点A落在区域M内的概率为P（M），
∵圆的半径为2，∴半圆面积为2π，
∴S扇形AOB=π，S△AOB=OA•OB=×2×2=2，
∴平面区域M的面积S=S扇形AOB-S△AOB=π-2，
∴P（M）=，
此时直线l的斜率为=1；
当直线与x轴重合时，P（M）=1，此时直线l的斜率为0，
综上，直线l的斜率范围是[0，1]．
故选B