Question

（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC=    ，线段AE的长为    ．

Answer

利用直径所对的圆周角是直角、弦切角定理、切割线定理、含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得出．
【解析】
①∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°；
∵AB=6，BC=3，∴，
∵∠ABC是锐角，∴∠ABC=60°．
由弦切角定理可得∠ACD=∠ABC=60°，
∵在Rt△ACD中，∴∠DAC=30°．
在Rt△ABC中，由勾股定理得=．
在Rt△ACD中，DC=ACcos60°=，由勾股定理得=，
由切割线定理得DC2=DE•DA，
∴=，∴AE=AD-DE==3．
故答案为30°，3．