Question

如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，BC=2，AC=2，AB=2，AA₁=A₁C=．
（Ⅰ） 求侧棱B₁B在平面A₁ACC₁上的正投影的长度．
（Ⅱ） 设AC的中点为D，证明A₁D⊥底面ABC；
（Ⅲ） 求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）由B1B∥平面A1ACC1，可得侧棱B1B在平面A1ACC1上的正投影的长度等于侧棱B1B的长度；
（Ⅱ）利用平面A1ACC1⊥平面ABC，可证A1D⊥底面ABC；
（Ⅲ）要求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小，利用三垂线定理作出角，即作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角，求解即可．
（Ⅰ）【解析】
∵ABC-A1B1C1是斜三棱柱，∴B1B∥平面A1ACC1，
故侧棱B1B在平面A1ACC1上的正投影的长度等于侧棱B1B的长度．（2分）
又BB1=AA1=，故侧棱B1B在平面A1ACC1的正投影的长度等于．（3分）
（Ⅱ）证明：∵AC=2，AA1=A1C=，∴AC2=AA12+AC12，
∴△AA1C是等腰直角三角形，（5分）
又D是斜边AC的中点，∴A1D⊥AC（6分）
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1D⊥底面ABC（7分）
（Ⅲ）【解析】
作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，
∵A1D⊥面ABC，AB⊂面ABC，∴A1D⊥AB，
∵A1D∩DE=D，∴AB⊥平面A1ED，（8分）
从而有A1E⊥AB，∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角． （9分）
∵BC=2，AC=2，AB=2，∴AC2=BC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，AB⊥BC
∴ED∥BC，
又D是AC的中点，BC=2，AC=2，∴DE=1，A1D=AD=，
∴A1E==2
∴cos∠A1ED==，即侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的余弦值为．（14分）