Question

设函数f（x）=x²+aln（x+1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ln有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂，求证F（x₂）＞．

Answer

（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（-1，+∞），=，令g（x）=2x2+2x+a，则△=4-8a．由根的判断式进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由F′（x）=f′（x），知函数F（x）有两个极值点时，0＜a＜，0＜＜1，由此推导出x2=∈（-，0），且g（x2）=0，即a=-（2+2x2），F（x2）=-（）ln（1+x2）+ln，构造函数h（x）=x2-（2x2+2x）ln（1+x）+ln，能够证明F（x2）＞．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），（1分）
=，（x＞-1），（2分）
令g（x）=2x2+2x+a，则△=4-8a．
①当△＜0，即a时，g（x）＞0，从而f′（x）＞0，
故函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增；（3分）
②当△=0，即a=时，g（x）≥0，此时f′（x）≥0，此时f′（x）在f′（x）=0的左右两侧不变号，
故函数f（x）在（-1，0）上单调递增； （4分）
③当△＞0，即a＜时，g（x）=0的两个根为，，
当，即a≤0时，x1≤-1，当0＜a＜时，x1＞-1．
故当a≤0时，函数f（x）在（-1，）单调递减，在（，+∞）单调递增；
当0＜a＜时，函数f（x）在（-1，），（，+∞）单调递增，
在（，）单调递减．（7分）
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+ln，∴F′（x）=f′（x），
∴当函数F（x）有两个极值点时0＜a＜，0＜＜1，
故此时x2=∈（-，0），且g（x2）=0，即a=-（2+2x2），（9分）
∴F（x2）=+aln（1+x2）+ln
=-（）ln（1+x2）+ln，
设h（x）=x2-（2x2+2x）ln（1+x）+ln，其中-，（10分）
则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），
由于-时，h′（x）＞0，
故函数h（x）在（-，0）上单调递增，
故h（x）．h（-）=．
∴F（x2）=h（x2）＞．（14分）