Question

函数f（x）是一次函数，且f（-1）=-1，f'（1）=e，其中e是自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在数列{a_n}中，a₁=f（1）-e，a_n+1=f（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=a_nln（a_2n-1+1），试求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）设出函数解析式，利用f（-1）=-1，f'（1）=e，可得结论；
（2）证明{an+1}是以e为公比，首项为e的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；
（3）利用裂项法，可求数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）设f（x）=kx+b，则f′（x）=k
∵f（-1）=-1，f'（1）=e，
∴，∴
∴f（x）=ax+e-1；
（2）∵an+1=f（an），∴an+1=ean+e-1，∴an+1+1=e（an+1）
∴{an+1}是以e为公比，首项为e的等比数列
∴an+1=en，∴an=en-1；
（3）bn=anln（a2n-1+1）=（2n-1）en-（2n-1）
令Tn=e+3e2+…+（2n-1）en，则eTn=e2+3e3+…+（2n-1）en+1，
两式相减可得（1-e）Tn=e+2（e2+e3+…+en）-（2n-1）en+1，
∴Tn=
∴Sn=．