Question

如图，椭圆C：焦点在x轴上，左、右顶点分别为A₁、A，上顶点为B，抛物线C₁、C₂分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O．C₁与C₂相交于直线上一点P．
（Ⅰ）求椭圆C及抛物线C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点，0），求的最小值．

Answer

（Ⅰ）由题意知，A（a，0），，故抛物线C1的方程可设为y2=4ax，C2的方程为．由此能求出椭圆C：，抛物线C1：y2=16x，抛物线C2：．
（Ⅱ）由直线OP的斜率为，知直线l的斜率为，设直线l方程为，由消去y，整理得，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，A（a，0），故抛物线C1的方程可设为y2=4ax，C2的方程为
则，得a=4，
所以椭圆C：，抛物线C1y2=16x：，抛物线C2：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为，所以直线l的斜率为，
设直线l方程为
由消去y，整理得
因为直线l与椭圆C交于不同两点，所以△=128b2-20（8b2-16）＞0，
解得
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
因为，，
所以=
因为，所以当时，取得最小值，
其最小值等于