Question

已知函数在点M（-1，y）的切线方程为x+y+3=0．
（Ⅰ）求点M的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．

Answer

（Ⅰ）将x=-1代入切线方程x+y+3=0可得M的坐标；
（Ⅱ）利用切点在函数图象上，该点的切线的斜率为-1，建立方程，即可求得函数的解析式；
（Ⅲ）利用分析法证明，要证在[1，+∞）上恒成立，转化为证明x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，构造函数，利用导数确定函数的单调性，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
将x=-1代入切线方程x+y+3=0得y=-2，∴M（-1，-2）…（2分）
（Ⅱ）【解析】
，化简得b-a=-4①．…（4分）
求导函数，则②．…（6分）
由①②解得：a=2，b=-2
∴．  …（8分）
（Ⅲ）证明：要证在[1，+∞）上恒成立
即证（x2+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立
即证x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．…（10分）
设h（x）=x2lnx+lnx-2x+2，
∵x≥1，∴，即h'（x）≥0．…（12分）
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．…（14分）