Question

已知二次函数f（x）满足：f（）=f（），其图象与x轴的两个交点间的距离为3，并且其图象过点（1，-2）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）如果方程f（x）=mx-3在区间（0，2）上有解，求实数m的取值范围．

Answer

（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（）=f（），可得f（x）图象的对称轴为x=，由此可得a，b间关系式；由图象过点（1，-2）可得一方程；设图象与x轴的两交点横坐标为x1，x2，则|x1-x2|=3，可化为=9，进而用韦达定理可得一方程，以上方程联立即可求得；
（2）方程f（x）=mx-3在区间（0，2）上有解，等价于m=x+-1在（0，2）上有解，问题转化为求函数y=x+-1在（0，2）上的值域问题；
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
由f（）=f（），知f（x）图象关于x=对称，
所以-=，即a=-b，
由函数图象过点（1，-2），得a+b+c=-2，即-b+b+c=-2，
所以c=-2．
则f（x）=ax2-ax-2，设图象与x轴的两交点横坐标为x1，x2，
则|x1-x2|=3，，即=9，
所以1-4×（-）=9，解得a=1，则b=-1．
所以f（x）=x2-x-2．
（2）方程f（x）=mx-3，即x2-x-2=mx-3，也即m=x+-1，
所以方程f（x）=mx-3在区间（0，2）上有解，等价于m=x+-1在（0，2）上有解．
当x∈（0，2）时，x+-1≥2-1=1，当且仅当x=，即x=1时取等号，
所以x+-1≥1，故m≥1．
所以实数m的取值范围为：m≥1．