Question

数列{a_n}的前n项和为s_n，a₁=1，a_n+1=2s_n+1，（n≥1），等差数列{b_n}的各项均为正数，前n项和为B_n，且B₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n的表达式．

Answer

（1）求解时要利用恒等式an+1=2Sn+1构造出an=2Sn-1+1两者作差得出an+1=3an，此处是难点，数列的{bn}的求解根据题意列出方程求d即可．
（II）数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用，借助错位相减法能求出结果．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），
∴an=2Sn-1+1（n∈N*，n＞1），
∴an+1-an=2（Sn-Sn-1），
∴an+1-an=2an，
∴an+1=3an（n∈N*，n＞1）（2分）
而a2=2a1+1=3=3a1，
∴an+1=3an（n∈N*）
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n-1（n∈N*）（4分）
∴a1=1，a2=3，a3=9，
在等差数列{bn}中，
∵b1+b2+b3=15，
∴b2=5．
又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64（6分）
解得d=-10，或d=2，
∵bn＞0（n∈N*），
∴舍去d=-10，取d=2，
∴b1=3，
∴bn=2n+1（n∈N*）．（8分）
（Ⅱ）∵Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，
∴由（Ⅰ）知Tn=3×1+5×3+7×32++（2n-1）3n-2+（2n+1）3n-1，①
3Tn=3×3+5×32+7×33++（2n-1）3n-1+（2n+1）3n，②（10分）
①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n-1-（2n+1）3n，（12分）
=3+2（3+32+33++3n-1）-（2n+1）3n
=3+2×-（2n+1）3n=3n-（2n+1）3n=-2n•3n，
∴Tn=n•3n．（14分）