Question

A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．且a＜1
（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；
（Ⅱ）求函数f（x）=2x³-3（1+a）x²+6ax在D内的极值点．

Answer

（1）根据方程2x2-3（1+a）x+6a=0的判别式讨论a的范围，求出相应D即可；
（2）由f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根据（1）中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可．
【解析】
（1）记h（x）=2x2-3（1+a）x+6a（a＜1），
△=9（1+a）2-48a=（3a-1）（3a-9），
当△＜0，即＜a＜1时，D=（0，+∞）；
当0＜a≤时，D=（0，）∪（，+∞），
当a≤0时，D=（，+∞），
（2）由f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=0得x=1，a
①当＜a＜1，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点，
②当0＜a≤，∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0，
h（a）=2a2-3（1+a）a+6a=3a-a2＞0，
∴1∉D，a∈D，
∴f（x）在D内有一个极大值点a，
③当a≤0，则a∉D，
又∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1＜0，
∴f（x）在D内有无极值点．