Question

（1）求证：对任何实数k，x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0恒过两定点，并求经过该两定点且面积最小的圆E的方程；
（2）若PA，PB为（1）中所求圆E的两条切线，A、B为切点，求的最小值．

Answer

（1）这是一个圆系方程，将x2+y2-2kx-（2k+6）y-2k-31=0转化为：x2+y2-6y-31+k（-2x-2y-2）=0，依题意，解方程组即可求得两定点及面积最小的圆E的方程；
（2）设PA=PB=x，∠APB=θ，由余弦定理得cosθ=，利用向量的数量积可得=（x2+32）+-96，利用基本不等式即可求得答案．
【解析】
（1）∵x2+y2-2kx-（2k+6）y-2k-31=0，
∴x2+y2-6y-31+k（-2x-2y-2）=0，
∴解此方程组得：或，
∴x2+y2-2kx-（2k+6）y-2k-31=0恒过两定点M（-6，5），N（2，-3）；
∴经过该两定点且面积最小的圆E就是以MN为直径的圆，
∵MN的中点H（-2，1），|MN|==8，
∴以MN为直径的圆的方程为：（x+2）2+（y-1）2=32．
②设PA=PB=x，∠APB=θ，
则由余弦定理得：|AB|2=2x2-2x2cosθ=64+64cosθ，
∴cosθ=，
∴=x2•=
=（x2+32）+-96
≥64-96（当且仅当x2+32=，即x2=时，取“=”．
故的最小值为64-96．