Question

如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，由此能够推导出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，由题意知恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．
（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x=my+1，代入，
由题设条件能够推导出=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2＜0恒成立．由此入手能够推导出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，所以，
即1=，解得a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，
|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），
因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．
（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：，
整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2-a2b2=0，
所以
因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．
即恒成立．
x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1
=
=
又a2+b2m2＞0，所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，
即a2b2m2＞a2-a2b2+b2对m∈R恒成立．
当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2＜0．
a2＜a2b2-b2，a2＜（a2-1）b2=b4，
因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2-a-1＞0，
解得a＞或a＜（舍去），即a＞，
综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．