Question

设函数f（x）=x（x-1）²，x＞0
（1）求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=lnx-2x²+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且仅有一个，求实数m和t的值；
（3）设a＞0，试讨论方程的解的个数，并说明理由．

Answer

（1）由f（x）=x（x-1）2，x＞0，知f′（x）=3x2-4x+1，由此能求出f（x）的极值．
（2）由g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立得，由此能求出t．
（3）令∅（x）==，得到∅′（x）=x-=．由此能推导出方程的解的个数．
【解析】
（1）∵f（x）=x（x-1）2，x＞0，
∴f′（x）=3x2-4x+1，
令f’（x）=0，得x=，或x=1，
∴当x变化时f（x），f′（x）的变化情况如下表：

  x （-∞，）  （，1）     1 （1，+∞）
f’（x） +  0 -     0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

由上表知当x=时，f（x）取得极大值，当x=1时，f（x）取得极小值0．
（2）由g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立得
对x∈（0，+∞）恒成立，
由②得m=-，又由①得1+t-m=0，∴t=-．
（3）令∅（x）=
=，
∴∅′（x）=x-=．
∵当x→0时，∅（x）→+∝，
∴由当0＜a＜e时，∅（x）min=∅（）=，此时原方程无解；
当a=e时，∅（x）min=∅（）=0，此时原方程有唯一解；
当a＞e时，∅（x）min=∅（）＜0，此时原方程，有两解．