Question

已知函数f（x）=-1+2sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标；
（3）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer

（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），求得x的范围，即可求得f（x）的单调递减区间．
（2）由sin（2x+）=0，求得2x+=kπ（k∈Z），解得x的值，可得 f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标．
（3）由题意可得2sin（2α+）=2sin（2β+），故2α++2β+=2kπ+π，k∈z，由此求得 α+β 的值，可得 tan（α+β ）的值．
【解析】
（1）∵f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），
求得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
（2）由sin（2x+）=0，求得2x+=kπ（k∈Z），即x=-（k∈Z），
∴f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标是（-，0）．
（3）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），
∴2sin（2α+）=2sin（2β+），
∴2α++2β+=2kπ+π，k∈z，∴α+β=kπ+，故 tan（α+β ）=．