Question

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函数，下面五个关于f（x）的命题中：
①f（x）是周期函数；
②f（x）图象关于x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上为减函数；
⑤f（2）=f（0），
正确命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

由题意义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
【解析】
因为义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），式子中的x 都被x+1代替可得：f（x+2）=-f（x+1）=f（x），利用函数周期的定义可知：该函数有周期T=2，又且f（x）在[-1，0]上是增函数，偶函数在对称区间上单调性相反，利用条件可以画一草图分析如下：

由题意及图形可知①⑤正确；②正确；③错误；④错误；
故选C