Question

已知函数．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²-c-1恒成立，求c的取值范围．

Answer

（I）求出f（x）的导数，令导数大于等于0恒成立，令导函数的判别式大于等于0，求出b的范围．
（II）据函数在极值点的导数为0，得到x=1是f′（x）=0的一个根，利用韦达定理求出f′（x）=0的另一个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出函数的最大值，令最大值＜c2-c-1恒成立，解不等式求出c的范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3x2-x+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∴f'（x）≥0恒成立．
∴△=1-12≤0，解得．
∴b 的取值范围为．
（Ⅱ）由题意知x=1是方程3x2-x+b=0的一个根，
设另一根为x，则
∴即f'（x）=3x2-x-2．在[-1，2]上f（x）、f'（x）的函数值随x 的变化情况如下表：

x -1 1 （1，2） 2
f'（x） + - +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增 2+c

∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2-c-1恒成立，
∴2+c＜c2-c-1⇒c2-2c-3＞0⇒c＜-1或c＞3，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（3，+∞）．