Question

若实数x，y，m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（Ⅰ）若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
（Ⅱ）已知函数f（x）的定义域．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

Answer

（Ⅰ）根据定义列出不等式即可求出；
（Ⅱ）通过解出|sinx|＞|cosx|、|sinx|＜|cosx|，即可求出f（x）的解析式及定义域；
【解析】
（Ⅰ） 根据定义可得：|x2-1|＞1，∴x2-1＞1或x2-1＜-1，解得；
（Ⅱ）（1）①若|sinx|＞|cosx|，（*）
则当时，cosx=0，上式（*）成立，此时，f（x）=sinx；
则当（k∈Z）时，（*）可化为|tanx|＞1，即tanx＞1或tanx＜-1，
解得x∈．
综上可知：当x∈（k∈Z）时，f（x）=sinx；
②若|sinx|＜|cosx|，由①可知：x∈（k∈Z）．
∴．
（2）其基本性质如下：①解析式与定义域见上；②画出图象如图所示：
③值域为；④非奇非偶函数；⑤在定义域内不单调；⑥是周期为2π的函数．