Question

已知函数f（x）=log₃x+m（1≤x≤9，m为常数）的图象经过点（1，2），则函数g（x）=[f（x）]²-f（x²）的值域为    ．

Answer

先由函数f（x）=log3x+m（1≤x≤9，m为常数）的图象经过点（1，2），求得m，再根据f（x）的定义域为[1，9]，求出g（x）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）=[f（x）]2-f（x2）=（2+log3x）2-（2+log3x2）=（log3x+1）2+1的最大值与最小值．
【解析】
∵函数f（x）=log3x+m（1≤x≤9，m为常数）的图象经过点（1，2），
∴log31+m=2，∴m=2，∴f（x）=log3x+2，
由f（x）的定义域为[1，9]可得g（x）的定义域为[1，3]，
又g（x）=（2+log3x）2-（2+log3x2）=（log3x+1）2+1，
∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．
∴当x=1时，g（x）有最小值2；
当x=3时，g（x）有最大值5．
则函数g（x）=[f（x）]2-f（x2）的值域为[2，5]．
故答案为：[2，5]．