Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长都等于2，D是BC上一点，且AD⊥BC．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求截面ADC₁与侧面ACC₁A₁所成的二面角Q-AC₁-C的正切．
（3）求B₁到平面ADC₁的距离．

Answer

（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，利用OD为△A1BC中位线，可得A1B∥OD，利用线面平行的判定，可证A1B∥平面ADC1；
（2）过D作AC的垂线，垂足为H，过D作AC1的垂线，垂足为N，连接NH，则∠DNH为截面ADC1与侧面ACC1A1所成的二面角，从而可求截面ADC1与侧面ACC1A1所成的二面角Q-AC1-C的正切值；
（3）设B1到平面ADC1的距离为h，利用即可得到结论．
（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．
由ABC-A1B1C1是正三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．
又AD⊥BC，所以D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，
因为A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1；
（2）【解析】
过D作AC的垂线，垂足为H，过D作AC1的垂线，垂足为N，连接NH，则∠DNH为截面ADC1与侧面ACC1A1所成的二面角
∵在△ADC1中，AD=，DC1=，AC1=2，∴∠ADC1=90°，∴DN==
∵DH⊥AC，∴DH=，∴NH=，
∴tan∠DNH==；
（3）【解析】
设B1到平面ADC1的距离为h，则
∵
∴=
∴h=