Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0，且第二项、第四项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=16+a_n，求数列{c_n}的前n项和S_n的最大值．

Answer

（1）用首项和公差表示等差数列的第二项、第四项、第十四项，由等差数列的第二项、第四项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项，利用等比中项概念列式求得首项和公差的关系，则公差可求，等差数列的通项公式可求，进一步求出a2，a4，a14后可求等比数列的通项公式；
（2）把（1）中求得的an代入cn=16+an，然后可得数列{cn}为等差数列，写出其前n项和后利用配方求其最大值．
【解析】
（1）在等差数列{an}中，a2=a1+d，a4=a1+3d，a14=a1+13d，
因为a2，a4，a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项，
所以，，即，4d2=-8a1d．
因为公差d≠0，所以d=-2a1．
因为a1=1，所以d=-2．
所以an=a1+（n-1）d=1-2（n-1）=3-2n．
由b2=a2=3-2×2=-1，b3=a4=3-2×4=-5，
所以，，．
则．
（2）由cn=16+an=16+3-2n=19-2n，
则cn-1=19-2（n-1）=21-2n（n≥2），
 所以，cn-cn-1=（19-2n）-（21-2n）=-2（n≥2），
c1=19-2×1=17．
则数列{cn}是首项为17，公差为-2的等差数列，
则Sn=
=
=-（n-9）2+81．
所以当n=9时，S9=81最大．