Question

设实数x，y满足不等式组．
（1）作出点（x，y）所在的平面区域并求出x²+y²的取值范围；
（2）设m＞-1，在（1）所求的区域内，求Q=y-mx的最值．

Answer

（1）将不等式去绝对值化简，即可作出如图的四边形DEFG及其内部，即为所求平面区域．再根据原点到点（x，y）的距离，算出x2+y2的最大最小值，即可得到x2+y2的取值范围；
（2）作直线l：Q=y-mx并进行平移，观察图形可得：Q的最大值为7+3m；当-1＜k≤2时Q的最小值为-1-2m，当k＞2时Q的最小值为1-3m．
【解析】
（1）将不等式去绝对值，化简为：或
平面区域为如图所示的四边形DEFG及其内部，其中D（-3，7），E（0，1），F（2，-1），G（3，1）；
由图可知，当动点（x，y）与点D（-3，7）重合时，
x2+y2达到最大值，最大值为OD2=9+49=58；
当动点（x，y）与原点在直线EF上的射影重合时，
x2+y2达到最小值，最小值为
∴x2+y2的取值范围是[，58]
（2）作直线l：Q=y-mx，则它的斜率k=m（k＞-1）
运动直线l，并观察图形可得：
①当-1＜k≤2即-1＜m≤2时
平移l到经过D点时，Q=y-mx值最大，Qmax=7+3m；
平移l到经过F点时，Q=y-mx值最小Qmin=-1-2m
②当k＞2，即m＞2时，
平移l到经过D点时，Q=y-mx值最大，Qmax=7+3m
平移l到经过G点时，Q=y-mx值最小Qmin=1-3m．