Question

已知函数f（x）=（x＞0），
（1）函数f（x） 在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞恒成立；
（3）试证：…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）．

Answer

（1）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；
（2）当x＞0时，f（x）＞恒成立，即证明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0），利用导数求得g（x）的最小值即可；
（3）由（2）知：＞（x＞0），从而令x=n（n+1），得ln[1+n（n+1）]＞2-=2-3（ ），对原不等式两边取对数，放缩求和即可证得结论
（1）【解析】
由题意知x＞0，则f′（x）=-＜0，
故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞恒成立，即证明（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x（x＞0），
则g′（x）=ln（x+1）-1，
当x＜e-1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞e-1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x=e-1时，g（x）取得最小值，且最小值g（e-1）=3-e＞0，
所以当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0在（0，+∞）上恒成立，
故当x＞0时，f（x）＞恒成立；
（3）证明：由（2）知：＞（x＞0），
∴ln（x+1）＞-1=2-＞2-，
令x=n（n+1），则ln[1+n（n+1）]＞2-=2-3（），
又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[（1-）+（-）+…+（-）]=2n-3（1-）=2n-3+＞2n-3
所以（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e2n-3．