Question

已知数列是以d为公差的等差数列，数列是以q为公比的等比数列．
（1）若数列的前n项和为S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₄+5b₂-2012，求整数q的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（3）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项．

Answer

（1）由题意知，，所以由S3＜a1004+5b2-2012，能求出整数q的值．
（2）假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1，由，得到k≥m+p，另由bk＞bm+p-1，得到k＜m+p，矛盾．所以，这要的项bk不存在．
（3）由b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+（s-r）d，则，由此推导出bi一定是数列的项．
【解析】
（1）由题意知，，
所以由S3＜a1004+5b2-2012，，…（3分）．解得1＜q＜3，
又q为整数，所以q=2．…（5分）
（2）假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1，
因为，
∴（*）…（8分）
又
=2m+p-2m＜2m+p，所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．
所以，这要的项bk不存在…（11分）
（3）由b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+（s-r）d，
则…（12分）
又，
从而，
因为as≠ar⇒b1≠b2，所以q≠1，ar≠0，
故．又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数，
所以q是整数，且q≥2…（14分）
对于数列中任一项bi（这里只要讨论i＞3的情形），
有==，
由于（s-r）（1+q+q2+…+qi-2）+1是正整数，
所以bi一定是数列的项…（16分）