Question

二次函数f（x）满足f（1）=1，f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围．
（3）若f（x）定义域为[0，m]，值域为[1，3]，求m的取值范围．

Answer

（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），然后把已知代入函数解析式，建立关系a，b，c的方程，解可求
（2）由f（x）在区间[2a，a+1]上不单调可知对称轴x=1∈（2a，a+1）且a+1＞2a，解不等式可求a的范围
（3）先求出函数的对称轴x=1，结合已知分类讨论对称轴与区间[0，m]的关系，然后分别求解即可
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
∵f（1）=1，f（0）=f（2）=3．
∴a，解可得a=2，b=-4，c=3
∴f（x）=2x2-4x+3
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调
则函数的对称轴x=1∈（2a，a+1）且a+1＞2a
∴2a＜1＜a+1
解可得
（3）函数的对称轴x=1
①若0＜m≤1，则函数在[0，m]上单调递减，函数的最大值为f（0）=3，最小值f（m）=2m2-4m+3=1
解可得m=1，符合题意
②若m＞1，则函数在[0，1]上单调递减，[1，m]上单调递增，最小值f（1）=1，
而f（0）=3，f（m）=2m2-4m+3，由最大值为3可知2m2-4m+3≥3
解可得m≥2
综上可得，m≥2或m=1