Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n为正整数）
（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n，k≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

Answer

（Ⅰ）由3an+1+2Sn，知3an+2Sn-1=3．故3an+1-3an+2an=0．由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=，由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤，由此能求出实数k的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵3an+1+2Sn，①
∴当n≥2时，3an+2Sn-1=3．②
由 ①-②，得3an+1-3an+2an=0．
∴，n≥2．
又∵a1=1，3a2+2a1=3，解得 ．
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
∴，（n为正整数）．…（7分）
（Ⅱ）∵数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴=，
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤，
∵数列{1-}单调递增，当n=1时，数列中的最小项为，即
∴必有k≤1，即实数k的最大值为1．…（14分）