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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数...

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数)
(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若对任意正整数n,k≤Sn恒成立,求实数k的最大值.
(Ⅰ)由3an+1+2Sn,知3an+2Sn-1=3.故3an+1-3an+2an=0.由此能求出数列{an}的通项公式. (Ⅱ)由(Ⅰ)知=,由题意可知,对于任意的正整数n,恒有k≤,由此能求出实数k的最大值. 【解析】 (Ⅰ)∵3an+1+2Sn,① ∴当n≥2时,3an+2Sn-1=3.② 由 ①-②,得3an+1-3an+2an=0. ∴,n≥2. 又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得 . ∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列. ∴,(n为正整数).…(7分) (Ⅱ)∵数列{an}是首项为1,公比为的等比数列, ∴=, 由题意可知,对于任意的正整数n,恒有k≤, ∵数列{1-}单调递增,当n=1时,数列中的最小项为,即 ∴必有k≤1,即实数k的最大值为1.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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