Question

在数列{a_n}中，a，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T_n，证明：．

Answer

（Ⅰ）由an•an-1=an-1-an，得，由此推导出bn-bn-1=1，从而得到bn=n+2．
（Ⅱ）由==（），利用错位相减法求出Tn=[-（+）]，由此能够证明．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）∵数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，bn=（n∈N*），
∴当n=1时，=3；
当n≥2时，由an•an-1=an-1-an，得，
∴bn-bn-1=1，
∴数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴bn=n+2．
（Ⅱ）∵==（），
∴Tn=（1-+-+-+…+-+-
=[-（+）]，
∴Tn是关于变量n的增函数，当n趋近无穷大时，的值趋近于0，
当n=1时，Tn取最小值，故有．