Question

已知双曲线左右两焦点为F₁，F₂，P是右支上一点，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）当时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的离心率e的取值范围；
（3）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆的截y轴的线段长为8，求该圆的方程．

Answer

（1）由相似三角形得到比例式，找出a、b的关系，把λ值代入求的值，进而得到双曲线的渐近线方程；
（2）用λ表示离心率的平方，据λ的范围求出离心率平方得最值，可得离心率的范围，
（3）确定圆心位置及直径，进而得到半径，写出圆的标准方程．
【解析】
由相似三角形知，，，
∴2a2λ+b2λ=b2，2a2λ=b2（1-λ），．
（1）当时，，∴a=b，y=±x．
（2）
=，在上单调递增函数．
∴时，e2最大3，时，e2最小，
∴，∴．
（3）当时，，∴b2 =2a2．
∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点．再由弦的性质可得圆心还在线段F1F2的中垂线（y轴）上，
∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF1=8．
又，∴．
∴，故圆心C（0，2），半径为4，
故所求的圆的方程为 x2+（y-2）2=16．