Question

已知（1+）ⁿ展开式的各项依次记为a₁（x），a₂（x），a₃（x）…a_n（x），a_n+1（x）．设F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（1）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（2）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-1．

Answer

（1）由题意可得 ak（x）=•，求得a1（x），a2（x），a3（x）的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值．
（2）由F（x）的解析式求得 F（2）═+2+3+…+（n+1），设Sn=+2+3+…+（n+1），利用二项式系数的性质求得Sn=（n+2）•2n-2．再利用导数可得F（x）在[0，2]上是增函数可得对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤F（2）-F（0）=2n-1（n+2）-1．
【解析】
（1）由题意可得 ak（x）=•，k=1、2、3，…n+1，
故a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为 =1，•=，=．
再由2×=1+，解得 n=8．
（2）∵F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+nan（x）+（n+1）an+1（x）
=+2•（）+3•+（n+1）•，
∴F（2）=+2+3+…+（n+1）．
设Sn=+2+3+…+（n+1），则有Sn=（n+1）+n+…+3+2+．
把以上2个式子相加，并利用= 可得 2Sn=（n+2）[+++…+]=（n+2）•2n-1，
∴Sn=（n+2）•2n-2．
当x∈[0，2]时，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函数，故对任意x1，x2∈[0，2]，
恒有|F（x1）-F（x2）|≤F（2）-F（0）=2n-1（n+2）-1，命题得证．