Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在区间[-1，2]上求y=f（x）的值域．

Answer

（I）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）-f（x）=2x，化简后根据多项式相等，各系数相等即可求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；
（II）由（1）中函数的解析式，分析函数在f（x）在区间[-1，2]上的单调性，进而求出最值，得到y=f（x）的值域．
【解析】
（I）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2x，
2ax+a+b=2x，
∴，
解得a=1，b=-1
又∵f（0）=c=1
∴f（x）=x2-x+1；
（II）∵函数f（x）=x2-x+1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线
故函数f（x）在区间[-1，]上为减函数，区间[，2]上为增函数
故当x=-1，或x=2时，函数f（x）取最大值3，
当x=时，函数f（x）取最小值
故y=f（x）的值域为[，3]