Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积．

Answer

（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；
（Ⅱ）根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等边三角形，利用三角形面积公式可得三棱锥D-ABC的表面积．
【解析】
（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD⊂平面ABD．
∴平面ADB⊥平面BDC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，
∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，
从而

所以三棱锥D-ABC的表面积为：