Question

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0又f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的值域；
（4）若∀x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）取x=y=0可求得f（0），取y=-x可得f（x）与f（-x）的关系，由奇偶性的定义即可判断；
（2）任取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，由已知可得f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，从而可比较f（x1）与f（x2）的大小关系，得到f（x1）＞f（x2）；
（3）由（2）知f（x）的单调性，根据单调性即可求得最大值、最小值，从而求得值域；
（4）根据函数的奇偶性、单调性可把f（ax2）+2f（-x）＜f（x）+f（-2）转化为具体不等式恒成立，利用数形结合即可得到关于a的限制条件，解出即可．
（1）【解析】
取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0，
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，
则x2-x1＞0，f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜-f（-x1），
又f（x）为奇函数，∴f（x1）＞f（x2）．
故f（x）为R上的减函数；
（3）∵f（x）为R上的减函数，
∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），
f（3）=3f（1）=-2×3=-6，∴f（-3）=-f（3）=-6，
故f（x）在[-3，3]上最大值为6，最小值为-6．
故f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-6，6]．
（3）【解析】
f（x）为奇函数，整理原式得f（ax2）+2f（-x）＜f（x）+f（-2），
可得f（ax2-2x）＜f（x-2），而f（x）在R上是减函数，
所以ax2-2x＞x-2即ax2-3x+2＞0恒成立，
①当a=0时不成立，
②当a≠0时，有a＞0且△＜0，即，解得a＞．
故a的取值范围为（，+∞）．