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已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)用定义证明...

已知定义域为R的函数f(x)=manfen5.com 满分网是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的范围.
(1)根据奇函数定义,利用f(0)=0且f(-1)=-f(1),列出关于a、b的方程组并解之得a=b=1; (2)根据函数单调性的定义,任取实数x1、x2,通过作差因式分解可证出:当x1<x2时,f(x1)-f(x2)>0,即得函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数; (3)根据函数的单调性和奇偶性,将不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0转化为:k<3t2-2t对任意的t∈R都成立,结合二次函数的图象与性质,可得k的取值范围. 【解析】 (1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,可得b=1 又∵f(-1)=-f(1) ∴=-,解之得a=1 经检验当a=1且b=1时,f(x)=,满足f(-x)=-f(x)是奇函数.    …(4分) (2)由(1)得f(x)==-1+, 任取实数x1、x2,且x1<x2 则f(x1)-f(x2)=-= ∵x1<x2,可得,且 ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;     …(8分) (3)根据(1)(2)知,函数f(x)是奇函数且在(-∞,+∞)上为减函数. ∴不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,即f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k) 也就是:t2-2t>-2t2+k对任意的t∈R都成立. 变量分离,得k<3t2-2t对任意的t∈R都成立, ∵3t2-2t=3(t-)2-,当t=时有最小值为- ∴k<-,即k的范围是(∞,-).                                  …(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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