Question

已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t²-1）+f（t）＜0．

Answer

（1）函数是定义在（-1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，再结合联解，可得a、b的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，经过讨论可得f（x1）＜f（x2），由定义知f（x）是（-1，1）上的增函数．
（3）根据f（x）是奇函数且在（-1，1）上是增函数，得原不等式可化为t2-1＜-t…①，再根据函数的定义域得-1＜t2-1＜1且-1＜t＜1…②，联解①②可得原不等式的解集．
【解析】
（1）∵函数是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴由f（0）=0，得b=0．
又∵，∴=，解之得a=1；
因此函数f（x）的解析式为：．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，则
∵-1＜x1＜x2＜1，
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t2-1）+f（t）＜0即为f（t2-1）＜-f（t）=f（-t），
又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴f（t2-1）＜f（-t）即为t2-1＜-t，解之得：…①
又∵，解之得-1＜t＜1且t≠0…②
对照①②，可得t的范围是：．
所以，原不等式的解集为．