Question

设函数f（x）=x²-2x+alnx．
（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的极值点．

Answer

（1）利用函数单调，其导函数大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即最小值≥0恒成立．
（2）据（1）根据参数的范围，对函数单调性分类判断，据极值的定义在各类中求出函数的极值．
【解析】
（1），
若函数f（x）是定义域上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2x2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
令g（x）=2x2-2x+a，则函数g（x）图象的对称轴方程是，
故只要△=4-8a≤0恒成立，即只要．
（2）有（1）知当时，f′（x）=0的点是导数不变号的点，
故时，函数无极值点；
当时，f'（x）=0的根是，
若a≤0，，此时x1≤0，x2＞0，且在（0，x2）上f′（x）＜0，
在（x2，+∞）上f'（x）＞0，故函数f（x）有唯一的极小值点；
当时，，
此时x1＞0，x2＞0，f′（x）在（0，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0，
此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点．
综上可知，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值点；
时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值点．