Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=（x-1）²；②f（x）=|2^x-1|；③；④f（x）=e^x．其中存在“稳定区间”的函数有（ ）
A．①③
B．①②③④
C．②④
D．①②③

Answer

根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．
【解析】
①中，若f（x）=（x-1）2存在“稳定区间”，
如当0＜x＜1时，0＜y＜1．“稳定区间”：[0，1]；
②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=|2x-1|的“稳定区间”；
③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数 f（x）=cosx的“稳定区间”；
④中，若f（x）=ex存在“稳定区间”
则ea+1=a，eb+1=b
即ex=x-1有两个解，即函数y=ex与函数y=x-1的图象有两个交点，
这与函数y=ex与函数y=x-1的图象没有交点相矛盾，故假设错误，
即f（x）=ex不存在“稳定区间”
故选D．