Question

函数y=asinx+2bcosx图象的一条对称轴方程是x=，则直线ax+by+1=0和直线x+y+2=0的夹角的正切值为（ ）
A．3
B．-3
C．
D．

Answer

函数f（x）=asinx+2bcosx图象的一条对称轴方程是，推出f（+x）=f（-x） 对任意x∈R恒成立，化简函数的表达式，求出a，b的关系，然后求出直线的斜率，再由两条直线的夹角公式求出直线ax+by+1=0与直线x+y+2=0的夹角．
【解析】
∵f （x）=asinx+2bcosx的一条对称轴方程是x=，
∴f（+x）=f（-x） 对任意x∈R恒成立，
asin（+x）+2bcos（+x）=asin（-x）+2bcos（-x），
asin（+x）-asin（-x）=-2bcos（+x）+2bcos（-x），
化简得：asinx=2bsinx 对任意x∈R恒成立，
∴（a-2b）sinx=0 对任意x∈R恒成立，∴a-2b=0，
∴直线ax+by+1=0的斜率k=-=-2．
又直线x+y+2=0的斜率为-1，设直线ax+by+1=0与直线x+y+2=0的夹角大小是θ，
则有 tanθ===，
故选C．