Question

已知∀x∈R，acos2x+bcosx≥-1恒成立，则当a≤0时，a+b的最大值是（ ）
A．
B．1
C．
D．2

Answer

由二倍角公式及换元法可化为关于t的二次函数f（t）=2at2+bt+1-a≥0，在t∈[-1，1]上 恒成立，可对a分类，若a=0易得结果，若a＜0由二次函数构造约束条件，用线性规划来解决．
【解析】
acos2x+bcosx≥-1恒成立，即a（2cos2x-1）+bcosx+1≥0
令cosx=t，则f（t）=2at2+bt+1-a≥0，在t∈[-1，1]上 恒成立，
若a=0时，f（t）=bt+1≥0在t∈[-1，1]上 恒成立，
当b≥0时，bt+1的最小值为-b+1，由-b+1≥0可得b≤1
当b＜0时，bt+1的最小值为-b+1，由-b+1≥0可得b≥-1，
即b∈[-1，1]，故a+b≤1，a+b的最大值为1；
若a＜0，f（t）=2at2+bt+1-a为开口向下的二次函数，
故只需区间两个端点处的函数值大于等于0即可，
即f（-1）≥0，f，1）≥0，解得
令z=a+b，由线性规划的知识可得z=a+b＜1，
综上可得a+b≤1
故选B